REALIZA 4 GRÁFICOS DE CIRCUNFERENCIAS EN EL ORIGEN Y FUERA DEL ORIGEN EN EL PLANO CARTESIANO CON SU ECUACIÓN GENERAL

REALIZA 4 GRÁFICOS DE CIRCUNFERENCIAS EN EL ORIGEN Y FUERA DEL ORIGEN EN EL PLANO CARTESIANO  CON SU ECUACIÓN GENERAL

EJERCICIO #1

Encuentre la ecuación general de la circunferencia cuyo centro está en las coordenadas  y que tiene un radio igual a

 .

 
Resolución por desarrollo

Resolución por desarrollo

En este caso podemos usar las fracciones o convertirlas a decimales:.

Como el centro no está en el origen vamos a usar la fórmula ordinaria para llegar a la desarrollada:

Para hacerlo, partamos de aquí: 

(x ─ a) 2 +  (y ─ b) 2 = r 2

Nota: Debemos recordar que x e y corresponden a las coordenadas de cualquier punto en la circunferencia, P (x,  y) , distante un radio desde el centro.

Volvamos a la fórmula:

Reemplacemos los valores en las coordenadas del centro, C (a,  b):

Pongamos los valores de nuestros binomios al cuadrado:

(x) 2 +  2(x)(0,5)  + (0,5) 2 +   (y) 2 +  2(y)(─1,25)  +  (─1,25) 2 = 3

x 2 +  x  + 0,25   +   y 2 ─2,50y  +  1,56   = 3

ahora acomodamos los términos e igualamos a cero, para obtener la ecuación general :

x 2 +  y 2 +   x   ─  2,50y   + 0,25   +  1,56   ─ 3  = 0

x 2 +  y 2 +   x   ─  2,50y   ─ 1,19  = 0

EJERCICIO #2

Hallar la ecuación general de la circunferencia con centro en C (1,  3) y radio r = 4 .

Resolución

Sabemos que debemos obtener un ecuación de la forma

x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 
por lo que necesitamos saber cuánto valen D, E y F

Para ello, recordamos que

D = ─2a

E = ─2b

F = a 2 + b 2 ─  r 2

Sustituyendo en D y E los valores que nos entregan las coordenadas del centro C (1, 3) , donde

a  =  1

b  =  3

tendremos que

D = ─2(1) =  ─2

E = ─2(3) =  ─6

Y ahora sustituimos en

F = a 2 + b 2 ─  r 2

F = (1) 2 + (3) 2 ─ (4) 2

F = 1  +  9  ─ 16

F = ─6

Como ya tenemos los valores de

D =  ─2

E =  ─6

F = ─6

Los usamos para sustituir en la ecuación

x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0

para quedar

y llegar finalmente a

x 2 + y 2 ─ 2x ─  6y  ─ 6 = 0 como la fórmula general de la circunferencia dibujada arriba.

EJERCICIO #3

Hallar la ecuación general de la circunferencia con centro en C (1,  3) y radio r = 4 .

Resolución

Sabemos que debemos obtener un ecuación de la forma

x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 
por lo que necesitamos saber cuánto valen D, E y F

Para ello, recordamos que

D = ─2a

E = ─2b

F = a 2 + b 2 ─  r 2

Sustituyendo en D y E los valores que nos entregan las coordenadas del centro C (1, 3) , donde

a  =  1

b  =  3

tendremos que

D = ─2(1) =  ─2

E = ─2(3) =  ─6

Y ahora sustituimos en

F = a 2 + b 2 ─  r 2

F = (1) 2 + (3) 2 ─ (4) 2

F = 1  +  9  ─ 16

F = ─6

Como ya tenemos los valores de

D =  ─2

E =  ─6

F = ─6

Los usamos para sustituir en la ecuación

x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0

para quedar

y llegar finalmente a

x 2 + y 2 ─ 2x ─  6y  ─ 6 = 0 como la fórmula general de la circunferencia dibujada arriba.

EJERCICIO #4

Hallar la ecuación general de la circunferencia cuyo diámetro es el segmento entre los puntos A(2, 3) y B(─4,  ─9)

Resolución

Como el segmento AB es el diámetro , el centro estará en la mitad de este (radio), y hacemos

Ahora calculamos el radio, que es la distancia desde C(─1,  ─3) hasta el punto A(2,  3)

Conocemos ahora las coordenadas del centro C(─1, ─3) y el radio 

Aplicamos la fórmula ordinaria

Desarrollamos los binomios

(x 2 + x + x + 1)+ (y 2 +3y + 3y + 9) = 45

(x 2 +2x +1) + (y 2 + 6y + 9) = 45

x 2 + y 2 +2x +6y +1+ 9 ─45 = 0

x 2 + y 2 +2x +6y  ─ 35 = 0 ecuación de la circunferencia graficada arriba.

Como un ejercicio probatorio de la efectividad de la fórmula analítica x 2 + y 2 +2x +6y  ─ 35 = 0 reemplacemos los valores de las coordenadas de los puntos A y B en x e y

Primero el A(2, 3)  que sea  x = 2,   y = 3

2 2 + 3 2 + 2•2 + 6•3 ─ 35 = 0

4 + 9 + 4 + 18 ─ 35 = 0

Ahora el B(─4,  ─9) que sea x = ─4,   y = ─9

(─4) 2 + (─9) 2 + 2(─4) + 6(─9) ─ 35 = 0

16 + 81 ─ 8 ─ 54 ─ 35 = 0

EJERCICIO #5

Hallar la ecuación de la circunferencia centrada en el punto (5, ─2) y de radio 3.

 

Resolución

Recordemos nuestra ecuación ordinaria de la circunferencia:

(x ─ a) 2 +  (y ─ b) 2 = r 2

Conocemos a y b  (5,  ─2) y el radio (r = 3)

Entonces reemplacemos

(x ─ 5) 2 +  (y ─ ─2) 2 = 3 2

(x ─ 5) 2 +  (y +  2) 2 = 9

Desarrollemos lo binomios cuadrados:

(x ─ 5) (x ─ 5) + (y +  2) (y +  2) = 9

(x 2 ─ 10x + 25) + (y 2 + 4y + 4) = 9

ordenamos e igualamos a cero

x 2 + y 2 ─ 10x + 4y + 25 + 4 ─ 9 = 0

x 2 + y 2 ─ 10x + 4y + 20 = 0

Ejercicio 6

Calcular la ecuación de la circunferencia de centro (1, 1) y que contiene al punto (–2, 3).

Resolución:

Primero debemos conocer el radio

Entonces la ecuación ordinaria nos queda

x 2 ─ 2x + 1 + y 2 ─ 2y + 1 = 13

x 2 + y 2 ─ 2x ─ 2y + 1 + 1 ─ 13 = 0

x 2 + y 2 ─ 2x ─ 2y  ─ 11 = 0